Naked Statistics ist das interessanteste Buch über die langweiligste Wissenschaft

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 03:51

Wer hat gesagt, dass Statistik eine langweilige und nutzlose Wissenschaft ist? Charles Wheelan argumentiert überzeugend, dass dies bei weitem nicht der Fall ist. Heute veröffentlichen wir einen Auszug aus seinem Buch darüber, wie man mit Statistiken ein Auto gewinnt, keine Ziege, und verstehen, dass Intuition Sie irreführen kann.

Das Monty Hall-Rätsel

Das Monty Hall Mystery ist ein berühmtes Problem in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das die Teilnehmer einer Spielshow namens Let’s Make a Deal verblüffte, die in mehreren Ländern immer noch beliebt ist und 1963 in den USA uraufgeführt wurde. (Ich erinnere mich jedes Mal, wenn ich diese Show als Kind gesehen habe, wenn ich krankheitsbedingt nicht zur Schule gegangen bin.) In der Einleitung zum Buch habe ich bereits darauf hingewiesen, dass diese Gameshow für Statistiker interessant sein kann. Am Ende jeder seiner Ausgaben stand der Teilnehmer, der das Finale erreichte, mit Monty Hall vor drei großen Türen: Tür Nr. 1, Tür Nr. 2 und Tür Nr. 3. Monty Hall erklärte dem Finalisten, dass hinter einer dieser Türen war ein sehr wertvoller Preis - zum Beispiel ein neues Auto und eine Ziege hinter den anderen beiden. Der Finalist musste sich für eine der Türen entscheiden und bekommen, was sich dahinter verbirgt. (Ich weiß nicht, ob es unter den Teilnehmern der Show mindestens eine Person gab, die sich eine Ziege zulegen wollte, aber der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die allermeisten Teilnehmer von einem neuen Auto träumten.)

Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit ist relativ einfach zu bestimmen. Es gibt drei Türen, zwei verstecken eine Ziege und die dritte verbirgt ein Auto. Wenn ein Teilnehmer der Show mit Monty Hall vor diesen Türen steht, hat er eine von drei Chancen, die Tür auszuwählen, hinter der sich das Auto befindet. Aber wie oben erwähnt, hat Let’s Make a Deal einen Haken, der dieses Fernsehprogramm und seinen Moderator in der Literatur zur Wahrscheinlichkeitstheorie verewigt hat. Nachdem der Finalist der Show auf eine der drei Türen zeigt, öffnet Monty Hall eine der beiden verbleibenden Türen, hinter denen sich immer eine Ziege befindet. Dann fragt Monty Hall den Finalisten, ob er seine Meinung ändern möchte, dh die zuvor ausgewählte geschlossene Tür zugunsten einer anderen geschlossenen Tür aufgeben möchte.

Nehmen wir als Beispiel an, dass der Teilnehmer auf Tür Nr. 1 zeigte. Dann öffnete Monty Hall Tür Nr. 3, hinter der sich die Ziege versteckte. Zwei Türen, Tür Nr. 1 und Tür Nr. 2, bleiben geschlossen. Wenn sich der wertvolle Preis hinter Tür Nr. 1 befand, hätte der Finalist ihn gewonnen, und wenn er sich hinter Tür Nr. 2 befand, hätte er verloren. An diesem Punkt fragt Monty Hall den Spieler, ob er seine ursprüngliche Wahl ändern möchte (in diesem Fall Tür Nr. 1 zugunsten von Tür Nr. 2 aufgeben). Sie werden sich natürlich daran erinnern, dass beide Türen noch geschlossen sind. Die einzige neue Information, die der Teilnehmer erhielt, war, dass die Ziege hinter einer von zwei Türen gelandet ist, die er nicht gewählt hatte.

Sollte der Finalist die ursprüngliche Wahl zugunsten von Tür Nr. 2 aufgeben?

Ich antworte: Ja, das sollte es. Wenn er sich an die ursprüngliche Wahl hält, beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen wertvollen Preis zu gewinnen, ⅓; Wenn er seine Meinung ändert und auf Tür Nr. 2 zeigt, ist die Wahrscheinlichkeit, einen wertvollen Preis zu gewinnen, ⅔. Wenn Sie mir nicht glauben, lesen Sie weiter.

Ich gebe zu, dass diese Antwort auf den ersten Blick alles andere als offensichtlich ist. Es scheint, dass die Wahrscheinlichkeit, einen wertvollen Preis zu erhalten, in beiden Fällen ist, egal welche der beiden verbleibenden Türen der Finalist wählt. Es gibt drei verschlossene Türen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich dahinter ein wertvoller Preis verbirgt, liegt zunächst bei ⅓. Macht die Entscheidung des Finalisten, seine Wahl zugunsten einer anderen verschlossenen Tür zu ändern, einen Unterschied?

Natürlich, denn der Haken daran ist, dass Monty Hall weiß, was sich hinter jeder Tür verbirgt. Wenn der Finalist Tür Nr. 1 wählt und sich tatsächlich ein Auto dahinter befindet, kann Monty Hall entweder Tür Nr. 2 oder Tür Nr. 3 öffnen, um die dahinter lauernde Ziege zu enthüllen.

Wenn der Finalist Tür 1 auswählt und sich das Auto hinter Tür 2 befindet, öffnet Monty Hall Tür 3.

Wenn der Finalist auf Tür 1 zeigt und sich das Auto hinter Tür 3 befindet, öffnet Monty Hall Tür 2.

Indem er seine Meinung ändert, nachdem der Moderator eine der Türen geöffnet hat, hat der Finalist den Vorteil, zwei Türen statt einer zu wählen. Ich werde versuchen, Sie auf drei verschiedene Arten von der Richtigkeit dieser Analyse zu überzeugen.

Die erste ist empirisch. 2008 schrieb der Kolumnist der New York Times, John Tyerney, über das Monty Hall-Phänomen. Danach entwickelten die Mitarbeiter der Publikation ein interaktives Programm, mit dem Sie dieses Spiel spielen und unabhängig entscheiden können, ob Sie Ihre ursprüngliche Wahl ändern oder nicht. (Das Programm sieht sogar kleine Ziegen und kleine Autos vor, die hinter den Türen auftauchen.) Das Programm zeichnet Ihren Gewinn auf, falls Sie Ihre ursprüngliche Wahl ändern und wenn Sie nicht überzeugt sind. Ich habe eine meiner Töchter dafür bezahlt, dieses Spiel 100 Mal zu spielen, und jedes Mal ihre ursprüngliche Wahl geändert. Ich habe auch ihren Bruder dafür bezahlt, das Spiel auch 100 Mal zu spielen, wobei ich jedes Mal die ursprüngliche Entscheidung beibehielt. Die Tochter gewann 72-mal; ihr Bruder 33 Mal. Jede Anstrengung wurde mit zwei Dollar belohnt.

Beweise aus Episoden des Spiels Let’s Make a Deal zeigen das gleiche Muster. Laut Leonard Mlodinov, Autor von The Drunkard's Walk, hatten die Finalisten, die ihre ursprüngliche Wahl geändert hatten, eine etwa doppelt so hohe Gewinnwahrscheinlichkeit wie diejenigen, die nicht überzeugt waren.

Meine zweite Erklärung für dieses Phänomen basiert auf Intuition. Nehmen wir an, die Spielregeln haben sich leicht geändert. Zum Beispiel beginnt der Finalist mit der Auswahl einer von drei Türen: Tür Nr. 1, Tür Nr. 2 und Tür Nr. 3, wie ursprünglich geplant. Bevor er jedoch eine der Türen öffnet, hinter denen sich die Ziege versteckt, fragt Monty Hall: "Sind Sie damit einverstanden, Ihre Wahl aufzugeben, um die beiden verbleibenden Türen zu öffnen?" Wenn Sie also Tür Nr. 1 gewählt haben, können Sie Ihre Meinung zugunsten von Tür Nr. 2 und Tür Nr. 3 ändern. Wenn Sie zuerst auf Tür Nr. 3 gezeigt haben, können Sie Tür Nr. 1 und Tür Nr. 2 auswählen und so weiter.

Diese Entscheidung dürfte Ihnen nicht besonders schwer fallen: Es liegt auf der Hand, dass Sie die anfängliche Wahl zugunsten der beiden verbleibenden Türen aufgeben sollten, da dies die Gewinnchancen von ⅓ auf ⅔ erhöht. Das Interessanteste ist, dass Monty Hall Ihnen im Wesentlichen dies in einem echten Spiel bietet, nachdem Sie die Tür geöffnet haben, hinter der sich die Ziege versteckt. Die grundlegende Tatsache ist, dass, wenn man die Möglichkeit hätte, zwei Türen zu wählen, hinter einer von ihnen sowieso eine Ziege versteckt wäre. Wenn Monty Hall die Tür öffnet, hinter der sich die Ziege befindet, und Sie erst dann fragt, ob Sie damit einverstanden sind, Ihre ursprüngliche Wahl zu ändern, erhöht dies Ihre Chancen auf einen wertvollen Preis erheblich! Im Grunde sagt Ihnen Monty Hall: "Die Chancen, dass sich hinter einer der beiden Türen, die Sie beim ersten Mal nicht gewählt haben, einen wertvollen Preis verbirgt, sind ⅔, was immer noch mehr als ⅓ ist!"

Das kann man sich so vorstellen. Nehmen wir an, Sie haben auf Tür Nr. 1 gezeigt. Danach gibt Ihnen Monty Hall die Möglichkeit, die ursprüngliche Entscheidung zugunsten von Tür Nr. 2 und Tür Nr. 3 aufzugeben. Sie stimmen zu und Sie haben zwei Türen zur Verfügung, das heißt, Sie haben alle Gründe erwarten, einen wertvollen Preis mit einer Wahrscheinlichkeit von ⅔ zu gewinnen, nicht ⅓. Was wäre passiert, wenn Monty Hall in diesem Moment Tür 3 geöffnet hätte - eine Ihrer "Türen" - und dahinter eine Ziege steckte? Würde diese Tatsache Ihr Vertrauen in Ihre Entscheidung erschüttern? Natürlich nicht. Wenn sich das Auto hinter Tür 3 verstecken würde, würde Monty Hall Tür 2 öffnen! Er würde dir nichts zeigen.

Wenn das Spiel nach einem Knock-Off-Szenario gespielt wird, gibt Ihnen Monty Hall wirklich die Wahl zwischen der Tür, die Sie zu Beginn festgelegt haben, und den beiden verbleibenden Türen, von denen eine ein Auto sein könnte. Wenn Monty Hall die Tür öffnet, hinter der sich die Ziege versteckt, tut er dir einfach einen Gefallen, indem er dir zeigt, welche der beiden anderen Türen nicht das Auto ist. In beiden der folgenden Szenarien haben Sie die gleichen Gewinnwahrscheinlichkeiten.

1. Auswahl von Tür Nr. 1, dann Zustimmung zum „Wechseln“zu Tür Nr. 2 und Tür Nr. 3, noch bevor eine Tür geöffnet wird.
2. Wählen Sie Tür Nr. 1, dann stimmen Sie zu, zu Tür Nr. 2 zu "wechseln", nachdem Monty Hall Ihnen die Ziege hinter Tür Nr. 3 zeigt (oder wählen Sie Tür Nr. 3, nachdem Monty Hall Ihnen die Ziege hinter Tür Nr. 2 zeigt).

In beiden Fällen verschafft Ihnen das Aufgeben der ursprünglichen Entscheidung den Vorteil von zwei Türen gegenüber einem und Sie können so Ihre Gewinnchancen von ⅓ auf ⅔ verdoppeln.

Meine dritte Option ist eine radikalere Version derselben grundlegenden Intuition. Nehmen wir an, Monty Hall bittet Sie, eine von 100 Türen auszuwählen (statt einer von drei). Nachdem Sie dies getan haben, beispielsweise indem Sie auf Tür Nr. 47 zeigen, öffnet er die 98 verbleibenden Türen, die die Ziegen enthüllen. Jetzt bleiben nur noch zwei Türen geschlossen: Ihre Tür Nr. 47 und eine weitere, zum Beispiel Tür Nr. 61. Sollten Sie Ihre ursprüngliche Wahl aufgeben?

Natürlich ja! Es besteht eine 99-prozentige Chance, dass sich das Auto hinter einer der Türen befindet, die Sie zunächst nicht gewählt haben. Monty Hall hat Ihnen die Höflichkeit erwiesen, 98 dieser Türen zu öffnen, es war kein Auto dahinter. Daher besteht nur eine Chance von 1 zu 100, dass Ihre ursprüngliche Wahl (Tür Nr. 47) richtig ist. Gleichzeitig besteht eine Chance von 99 von 100, dass Ihre ursprüngliche Wahl falsch war. Wenn ja, dann befindet sich das Auto hinter der verbleibenden Tür, also Tür Nr. 61. Wenn Sie mit der Wahrscheinlichkeit 99 von 100 zu gewinnen spielen möchten, dann sollten Sie auf Tür Nr. 61 „umsteigen“.

Kurz gesagt, wenn Sie jemals Let's Make a Deal spielen müssen, müssen Sie Ihre ursprüngliche Entscheidung definitiv zurücknehmen, wenn Monty Hall (oder wer auch immer ihn ersetzen wird) Ihnen die Wahl lässt. Eine allgemeinere Schlussfolgerung aus diesem Beispiel ist, dass Ihre intuitiven Vermutungen über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse Sie manchmal in die Irre führen können.