Das Problem der Kaninchen des mittelalterlichen Mathematikers Leonardo Fibonacci

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 03:51

Berechnen Sie, welche Nachkommen ein Tierpaar bis Anfang nächsten Jahres schenkt.

Leonardo Fibonacci war ein herausragender Mathematiker des Mittelalters. Es wird vermutet, dass er die arabischen Ziffern eingeführt hat. In The Book of the Abacus, einem Werk, das die Dezimalarithmetik erläutert und fördert, gibt Fibonacci sein berühmtes Problem über Kaninchen an. Versuchen Sie es zu lösen.

Anfang Januar wurde ein Paar neugeborener Kaninchen (männlich und weiblich) in einen von allen Seiten eingezäunten Gehege gesetzt. Wie viele Kaninchenpaare werden sie Anfang nächsten Jahres produzieren? Es ist notwendig, die folgenden Bedingungen zu berücksichtigen:

• Kaninchen erreichen die Geschlechtsreife zwei Monate nach der Geburt, also zu Beginn des dritten Lebensmonats.
• Zu Beginn eines jeden Monats bringt jedes geschlechtsreife Paar nur ein Paar zur Welt.
• Tiere werden immer paarweise „ein Weibchen + ein Männchen“geboren.
• Kaninchen sind unsterblich, Raubtiere können sie nicht fressen.

Mal sehen, wie die Zahl der Kaninchen in den ersten sechs Monaten wächst:

Monat 1. Ein Paar junge Kaninchen.

Monat 2. Es gibt noch ein Originalpaar. Kaninchen haben das gebärfähige Alter noch nicht erreicht.

Monat 3. Zwei Paare: das Original, das das gebärfähige Alter erreicht hat + ein Paar junge Kaninchen, die sie zur Welt gebracht hat.

Monat 4. Drei Paare: ein ursprüngliches Paar + ein Kaninchenpaar, das sie Anfang des Monats geboren hat + ein Kaninchenpaar, das im dritten Monat geboren wurde, aber noch nicht die Pubertät erreicht hat.

Monat 5. Fünf Paare: ein ursprüngliches Paar + ein im dritten Monat geborenes Paar, das das gebärfähige Alter erreicht hat + zwei neue Paare, die sie zur Welt gebracht haben + ein Paar, das im vierten Monat geboren wurde, aber noch nicht reif ist.

Monat 6. Acht Paare: fünf Paare vom letzten Monat + drei neugeborene Paare. Usw.

Um es klarer zu machen, schreiben wir die empfangenen Daten in die Tabelle:

Wenn Sie die Tabelle sorgfältig untersuchen, können Sie das folgende Muster erkennen. Jedes Mal, wenn die Anzahl der Kaninchen im n-ten Monat gleich der Anzahl der Kaninchen im (n - 1)-ten Vormonat ist, summiert sich die Anzahl der neugeborenen Kaninchen. Ihre Anzahl entspricht wiederum der Gesamtzahl der Tiere im (n - 2) Monat (vor zwei Monaten). Daraus lässt sich die Formel ableiten:

F = F_{n ‑ 1}+ F_{n ‑ 2}, wo F - die Gesamtzahl der Kaninchenpaare im n-ten Monat, F_{n ‑ 1} ist die Gesamtzahl der Kaninchenpaare im Vormonat und F_{n ‑ 2} - die Gesamtzahl der Kaninchenpaare vor zwei Monaten.

Zählen wir die Anzahl der Tiere in den folgenden Monaten, die es verwenden:

Monat 7. 8 + 5 = 13.

Monat 8. 13 + 8 = 21.

Monat 9. 21 + 13 = 34.

Monat 10. 34 +21 = 55.

Monat 11. 55 + 34 = 89.

Monat 12. 89 + 55 = 144.

Monat 13 (Anfang nächsten Jahres). 144 + 89 = 233.

Zu Beginn des 13. Monats, also Ende des Jahres, werden wir 233 Kaninchenpaare haben. Davon werden 144 Erwachsene und 89 Junge sein. Die resultierende Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 heißt Fibonacci-Zahlen. Darin ist jede neue Endzahl gleich der Summe der beiden vorherigen.

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